成人感冒咳嗽属于呼吸系统疾病，所以去医院的话应该挂呼吸内科。

治疗上，首先需要根据辨证论治，分清风寒感冒还是风热感冒。如果是风寒感冒，可以服用风寒感冒颗粒、感冒清热颗粒、参苏口服液、通宣理肺颗粒和荆防颗粒等来治疗；如果是风热感冒，可以服用风热感冒颗粒、小柴胡颗粒、银翘冲剂、板蓝根颗粒、蒲地蓝消炎口服液、蓝芩口服液、双黄连口服液等来治疗。在用药的同时，患者还需要注意，清淡饮食，忌食辛辣、刺激性食物，戒烟戒酒，注意休息。